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Tangenten an Kurven




Ex: Ein typisches Kreisbeispiel


a) Mit GG-Werkzeug/Befehl

  1. EV oder AV: Kreis und Punkt eingeben
  2. EV: Mit Tangentenwerkzeug oder mit Befehl

b) Anwenden der Berührbedingung

geometrisch

  1. EV oder AV: Kreis und Punkt eingeben
  2. EV: Geraden von P zu einem beliebigen Punkt, spielen („experimentieren) bis Tangente/Tangenten erreicht ist/sind.

analytisch

  1. CAS: P in allgemeine Tangentengleichung g:=k⋅x+d einsetzen
  2. CAS: Schnitt mit Kreisgleichung mit dem Ziel einer Lösung (Determinante = 0) liefert die Berührbedingung, diese liefert wiederum die Steigungen der Tangenten
  3. CAS: Tangentengleichungen anschreiben

c) Anwenden der Abstandsformel

analytisch

  1. CAS: P:=(8|6) und kr:=(x−3)2+(y−1)2=5 eingeben
  2. CAS: Normalvektor der gesuchten Tangente (allgemein) definieren n:=(1,k), Einheitsvektor davon berechnen n0:=Einheitsvektor(n)
  3. CAS: Über Abstandsformel eine Gleichung in k formulieren: |n0⋅(P−M)|=r
  4. CAS: Diese Gleichung nach k lösen (Achtung: Betragsgleichung manuell in ihre beiden Zweige zerlegen - funktioniert noch nicht)
  5. CAS: Tangentengleichungen aufstellen

d) Mit Thaleskreis

geometrisch

  1. EV oder AV: Mittelpunkt zwischen P und M erzeugen
  2. EV: Kreis durch M mit Radius r=¯MP
  3. EV: Thaleskreis mit k schneiden
  4. EV: Tangenten einzeichnen

analytisch

  1. CAS: Mittelpunkt zwischen P und M erzeugen
  2. CAS: Kreis durch M mit Radius d=¯MP
  3. CAS: Thaleskreis mit k schneiden → S1,S2
  4. CAS: Tangentengleichungen aufstellen

e) Mit Satz von Pythagoras

analytisch

  1. CAS: Abstand d=¯MP berechnen
  2. CAS: Abstand td von P zu den Berührpunkten berechnen $td:=\sqrt{d^2-r^2}
  3. CAS: Kreisgleichung kh mit Mittelpunkt P und Radius td aufstellen
  4. CAS: Kreise kr und kh schneiden → Berührpunkte
  5. CAS: Tangentengleichungen aufstellen

f) Unter Verwendung der Polaren

geometrisch

  1. EV oder AV: Kreis und Punkt eingeben
  2. EV: Mit Polarenwerkzeug oder Befehl
  3. EV: Kreis und Gerade schneiden
  4. EV: Tangenten durch P und S1 und S1

analytisch

  1. CAS: Polare aufstellen
  2. CAS: Polare und Kreis schneiden → Berührpunkte
  3. CAS: Tangentengleichungen aufstellen