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Tangenten an Kurven




Ex: Ein typisches Kreisbeispiel


a) Mit GG-Werkzeug/Befehl

  1. EV oder AV: Kreis und Punkt eingeben
  2. EV: Mit Tangentenwerkzeug oder mit Befehl

b) Anwenden der Berührbedingung

geometrisch

  1. EV oder AV: Kreis und Punkt eingeben
  2. EV: Geraden von P zu einem beliebigen Punkt, spielen („experimentieren) bis Tangente/Tangenten erreicht ist/sind.

analytisch

  1. CAS: P in allgemeine Tangentengleichung $g:=k\cdot x + d$ einsetzen
  2. CAS: Schnitt mit Kreisgleichung mit dem Ziel einer Lösung (Determinante = 0) liefert die Berührbedingung, diese liefert wiederum die Steigungen der Tangenten
  3. CAS: Tangentengleichungen anschreiben

c) Anwenden der Abstandsformel

analytisch

  1. CAS: $P:=(8|6)$ und $kr:=(x-3)^2+(y-1)^2=5$ eingeben
  2. CAS: Normalvektor der gesuchten Tangente (allgemein) definieren $n:=(1,k)$, Einheitsvektor davon berechnen $n_0:=Einheitsvektor(n)$
  3. CAS: Über Abstandsformel eine Gleichung in $k$ formulieren: $|n_0\cdot(P-M)|=r$
  4. CAS: Diese Gleichung nach $k$ lösen (Achtung: Betragsgleichung manuell in ihre beiden Zweige zerlegen - funktioniert noch nicht)
  5. CAS: Tangentengleichungen aufstellen

d) Mit Thaleskreis

geometrisch

  1. EV oder AV: Mittelpunkt zwischen $P$ und $M$ erzeugen
  2. EV: Kreis durch $M$ mit Radius $r = \bar{MP}$
  3. EV: Thaleskreis mit $k$ schneiden
  4. EV: Tangenten einzeichnen

analytisch

  1. CAS: Mittelpunkt zwischen $P$ und $M$ erzeugen
  2. CAS: Kreis durch $M$ mit Radius $d = \bar{MP}$
  3. CAS: Thaleskreis mit $k$ schneiden → $S_1, S_2$
  4. CAS: Tangentengleichungen aufstellen

e) Mit Satz von Pythagoras

analytisch

  1. CAS: Abstand $d = \bar{MP}$ berechnen
  2. CAS: Abstand $td$ von $P$ zu den Berührpunkten berechnen $td:=\sqrt{d^2-r^2}
  3. CAS: Kreisgleichung $kh$ mit Mittelpunkt $P$ und Radius $td$ aufstellen
  4. CAS: Kreise $kr$ und $kh$ schneiden → Berührpunkte
  5. CAS: Tangentengleichungen aufstellen

f) Unter Verwendung der Polaren

geometrisch

  1. EV oder AV: Kreis und Punkt eingeben
  2. EV: Mit Polarenwerkzeug oder Befehl
  3. EV: Kreis und Gerade schneiden
  4. EV: Tangenten durch $P$ und $S_1$ und $S_1$

analytisch

  1. CAS: Polare aufstellen
  2. CAS: Polare und Kreis schneiden → Berührpunkte
  3. CAS: Tangentengleichungen aufstellen